ВведениеМодульная алгоритмизация аналитических зависимостей цифровых моделей территорий – средство аналитико-цифрового представления трехмерных пространственных объектов поверхностей или рельефов в виде массивов данных, образующих множество высотных отметок, отметок глубин и иных значений аппликат, — координаты Z локальной системы координат (ЛСК) в узлах регулярной или нерегулярной сети. Или совокупность записей горизонталей или иных изолиний.Это актуально при решении многих инженерных задач: 1) создание карт и отображение на них рельефа суши 2) задачи вертикальной планировки территории для нужд строительства; 3) гидрологические задачи, мелиорация земель; 4) экологические задачи и др.  Основные положения методов решения указанных задач изложены в [1-5].Автором предложено аналитико-цифровое моделирование [6-13] в виде отдельных алгоритмических модулей [14] при создании цифровой модели рельефа местности, основанных на нелинейных схемах интерполирования отметок между исследуемыми точками.Цели и задачиЦель исследования — разработать метод аналитического моделирования поверхности рельефа (АМПР) местности под «нулевой» баланс разработки грунта рассматриваемого участка территории.Задачи исследования:    разработать алгоритм определения средне-планировочной отметки рассматриваемой территории;    формализовать аналитические зависимости исходных структур данных и визуализировать полученные результаты исследования;Материалы и методыВоспользуемся локальной системой координат (ЛСК), в виде «правой тройки (0,X,Y,Z)».Будем искать аналитическо-цифровую модель поверхности рельефа (АМПР), и аналитическую модель средне-планировочной поверхности (СПП), рассматриваемой на рис.1 площадки. как функцию двух переменных:АМПР = f (№1(по «0Х»), №2 (по «0У»))                   (1)где: указанные в двумерном массиве [ere] черные отметки вдоль оси «0Х», — локальная переменная №1; черные отметки вдоль оси «0У» — локальная переменная №2 искомой аналитической функции.Что даёт нам поиск аналитических выражений моделей рельефа и планировочной поверхности, как функций от черных отметок в двух направлениях?Совместное, системное решение полученных аналитических выражений соответствующих поверхностей друг с другом даст возможность алгоритмизации нахождения аналитического выражения линии их пересечения друг с другом, - т.е. аналитического нахождения так называемой линии «нулевых» работ при разработке грунта под «нулевой» баланс, и её последующей оптимизации.Используем результаты камеральной обработки ситуационного топографического плана местности в виде расчётных "черных" отметок [англ.- existing relief elevation (ere)], приведенных на рис. 1. Рис. 1. Вариант топографического плана для работ под «нулевой» балансНа рис. 1 приведена 50-ти метровая сеточная разметка по направлениям осей «0Х» и «0У» в обоих направлениях.Результаты исследований 1Создадим массив «чёрных» отметок, представив их двумерным массивом данных [ere](5х4). Структуру данных в массиве [ere], упорядочим в соответствии с локальной системой координат, — «правой тройкой (0XYZ)». За начало отсчётов (ЛСК) примем левый верхний угол рассматриваемой таблицы. Рис. 2. «Выборка черных отметок» данным в двумерный массив [ere](5х4)Разработка алгоритма определения средне-планировочной отметки.На рис. 3 показана последовательная обработка элементов массива [ere]. С помощью вспомогательных переменных е (1,2,3), соответствующих адресаций к кодированным и структурированным данным массива [ere(i,j)], приведенным инструкциям, - вычисляется значение высотной отметки средне-планировочной поверхности «Hm» рассматриваемого участка: Рис. 3. Алгоритм вычисления средне-планировочной отметки «Hm (n =12)Результат является средним арифметическим суммы элементов массива данных [ere]Результаты исследований 2Таким образом, средне-планировочная отметка для приведенных данных составляет 20,394 м. Эта величина представляет собой высотную отметку «Hz» горизонтальной плоскости в принятой (ЛСК). Следовательно, это такая планировочная поверхность, относительно которой «бóльшим» черным отметкам рельефа будут поставлены в соответствие понятие «выемки», а «меньшим» — понятие «насыпи» при разработке грунта под «нулевой» баланс.Формализация вывода аналитической модели (АМПР) поверхности рельефа рассматриваемой площадки.Представим функцию, аппроксимирующую указанный на рис.2 ландшафт полиномом шестой степени, как наиболее подходящую аппроксимацию1  приведенных в массиве [ere] данных.Функции аппроксимации значений черных отметок (ЛСК) «по оси Х» и «по оси У» рис. 1, будем искать также в виде соответствующих полиномов шестой степени p(х) и p(y).Суперпозицию функций черных отметок [p(х) и р(у)] обозначим, как аппроксимируемые искомым полиномом «рельефные» отметки поверхности рассматриваемой площадки.Из анализа структуры данных массива [ere], черные отметки, соответствующие приведенной разметке по осях «0X» и «0Y» (ЛСК), — отличаются друг от друга не на постоянную, а на некую случайную переменную величину отклонения.  Нахождение «средних» значений отклонений осуществим с помощью вычисления их «среднего геометрического»2. Такая величина, — наиболее точно соответствует оценке центральной тенденции.Результаты исследований 3Аналитическое выражение (АМПР) в виде полинома шестой степени от указанных суперпозиций полиномов шестых степеней p(x) и p(y) представим в виде:$p(x,y)=\sqrt[2]{p(x)∙p(y)} $                   (2)Представление системы уравнений для p(х) по оси «0X», в которой неизвестными являются коэффициенты полинома p(x) степени шесть, а свободными членами структурированные на рис. 2 элементы массива [ere](5х4) покажем на рис. 3:Рис. 3. Алгоритм поиска полинома p(x)где: «Ах», — матрица коэффициентов в рассматриваемом полиноме, «Вх» — вектор свободных членов полинома, — как выборка из массива [ere](5х4) по оси «0Х», «Кх» — результат решения системы уравнений, вектор значений найденных неизвестных.Вывод уравнения полинома р(x), осуществим с использованием функцию "векторизация"3 результатов решения системы уравнений на рис.3. Покажем выполненные преобразования с векторами «Кх» и «С1» на рис.4:Рис. 4. Операции векторизации полинома p(x)После преобразований получим искомое аналитическое выражение для полинома p(x) следующего вида:$p(x)=0,137∙x^1+0,077∙x^2+0,003425∙x^3-0,043∙x^4+0,017∙x^5-0,001952∙x^6+\\19.81$     (3) Систему уравнений p(y) по оси «0Y», в которой неизвестными являются коэффициенты полинома p(y) степени шесть, покажем на рис. 5:Рис. 5. Алгоритм поиска полинома p(y)где Аy — матрица коэффициентов в рассматриваемом полиноме, Ву — вектор свободных членов полинома, - выборка из массива [ere] параллельно оси «0у», Кy — результат решения указанной системы, вектор значений найденных неизвестных.Вывод уравнения полинома p(y) также осуществим, используя функцию "векторизации" результатов решения системы уравнений. Преобразуем вектор «Ky» и «С2», рис. 6:Рис. 6. Операции векторизации полинома p(y)В результате чего, также получим аналитическое выражение уравнения полинома p(y) шестой степени по оси «0Y», которое в общем виде будет представлять собой:$p(y)=a∙y^1+b∙y^2+c∙y^3-d∙y^4+e∙y^5-f∙y^6+g$      (4)а после вычислений по псевдокоду на рис. 6:$p(y)=0,137∙y^1+0,077∙y^2+0,003425∙y^3-0,043∙y^4+0,017∙y^5-0,001952∙y^6+19.81$      (5)Графически построим искомую функцию полинома аппроксимации моделирующего поверхность рельефа рассматриваемого участка в заявленном виде (2), как функции суперпозиций переменных р(х) и р(у).На рис. 7 приведём традиционную форму представления полученных результатов моделирования рельефа поверхности в плане, в традиционной форме — с помощью соответствующих заданному ландшафту изолиниям, рис. 7a.На рис. 7b покажем графическое представление разработанной модели (АМПР) в виде аналитической функции суперпозиций p(x) и p(y) (2): Рис. 7(a, b) a) Разработанная модель рельефа рассматриваемого участка в традиционной форме,представленная с помощью эквипотенциальных поверхностей уровней, заданных массивом данных [ere](5х4) b) тоже, в форме модельной объёмной поверхности заданного ландшафтаПокажем процесс вывода аналитической функции средне-планировочной плоскости для определенной ранее отметки «Hm» = 20.394м.Обобщённо, средне-планировочную поверхность также представим полиномом шестой степени. Функционально, как квадратный корень из суперпозиций функций p0(x) и р0(y). Для этого, поочерёдно, вдоль осей ЛКС «0X» и «0Y» аппроксимируем полученные результаты вычисления средне-планировочной отметки.Систему уравнений полинома проходящих через максимальное количество заданных топографических точек, координат маccива [ere] вдоль оси «0X», в общем виде представим следующим образом:$p0(x)=a∙x^1+b∙x^2+c∙x^3-d∙x^4+e∙x^5-f∙x^6+g$     (6)Запишем систему уравнений по оси «0X», в которой неизвестные представим коэффициентами полинома p0(x), как это показано на рис. 8 Рис. 8. Псевдокод алгоритма вычисления полинома p0(x)где Ах0, — матрица коэффициентов средне-планировочной поверхности, Вх - вектор свободных членов полинома, Кх0 - результат решения указанной системы, - вектор значений найденных неизвестных. Выполнив "векторизацию" и преобразования с векторами «Кх0» и «С10» получим:$p0(x)=3,423∙10{-13}∙x^1-2,258∙10{-13}∙x^2-5,678∙10{-13}∙x^3++6,28∙10{-13}∙x^4-2,105∙10{-13}∙x^5+2,279∙10{-13}∙x^6+20,394$     (7)Запишем систему уравнений по оси «0Y», в которой неизвестные представим коэффициентами полинома p0(y) — массивом размером (4х7), рис. 9: Рис. 9. Алгоритм вычисления полинома p0(y)где Аy(0) — матриица коэффициентов в рассматриваемом полиноме, В — вектор свободных членов полинома, выборка из матрицы (ere) параллельно оси «0у», Кy0 — результат решения указанной системы, вектор значений найденных неизвестных.В результате получим:$p0(y)=2,004∙10{-13}∙y^1-6,13∙10{-14}∙y^2+1,345∙10{-13}∙y^3++4,023∙10{-13}∙y^4-3,561∙10{-13}∙y^5+7,059∙10{-14}∙y^6+20,394$      (8)Результаты исследований 4Получим функцию полинома от вычисленных переменных для построения средне-планировочной поверхности рассматриваемой площадки, как поверхности "нулевых" работ в виде функции двух переменных р0(х) и р0(у):$p0(x,y)=\sqrt[2]{p0(x)∙p0(y)}  $     (9)По результатам (10) построим искомую поверхность "нулевых" работ рассматриваемой площадки, рис. 10: Рис. 10. Модель средне-планировочной на отметке 20,396 мЗаключениеВ работе созданы аналитические зависимости моделей поверхности рельефа и средне-планировочная поверхность.На четвертом этапе совместное системное решение приведенных зависимостей позволяет автоматически ставить в соответствие относительные значения, соответствующие высотным отметкам моделей рельефа поверхности и средне-планировочной поверхности, — значениям объёмов «выемки» и «насыпи» грунта под «нулевой баланс.Совместное аналитическое решение полученных аналитических зависимостей позволяет получить точное алгебраическое решение линии «нулевых» работ. Поставленные в работе цели и задачи исследования достигнуты. Рис. 11. Визуализация этапов алгоритмизации моделирования рельефа местности под «нулевой» баланс.I, II, III и IY — этапы алгоритмизации  Примечания[1] Аппроксимацией представляется приближенное представление сложной (имеющей громоздкое математическое представление) или заданной в виде таблицы функции f(x) более простой функцией  q(x), имеющей минимальные отклонения от исходной функции. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта.[2] Среднее значение, которое указывает на центральную тенденцию или типичное значение набора чисел, используя произведение их значений при их существенном разбросе значений друг относительно друга.[3] Векторизация, вид распараллеливания программы вычислений, при котором однотипные приложения, выполняющие одну операцию в каждый момент времени, модифицируются для выполнения нескольких однотипных операций одновременно. Скалярные операции, обрабатывающие по паре операндов, заменяются на операции над массивами (векторами), обрабатывающие несколько элементов вектора в каждый момент времени.