Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
GRNTI 67.11 Строительные конструкции
GRNTI 67.01 Общие вопросы строительства
OKSO 08.02.02 Строительство и эксплуатация инженерных сооружений
BBK 222 Механика
BBK 30 Техника и технические науки в целом
BBK 38 Строительство
BBK 385 Строительные конструкции
BBK 308 Монтаж, эксплуатация, ремонт машин и промышленного оборудования
TBK 50 Технические науки в целом
TBK 5014 Техническая физика
TBK 54 Строительство
TBK 5414 Строительные конструкции
Ferma s odnoy nepodvizhnoy sharnirnoy i tremya podvizhnymi oporami imeet dvoynuyu krestoobraznuyu reshetchatuyu strukturu. Vyvodyatsya analiticheskie zavisimosti progiba ot chisla paneley. Uravneniya dlya opredeleniya usiliy v sterzhnyah reshayutsya v simvol'noy forme v sisteme komp'yuternoy matematiki Maple. Primenyaetsya formula Maksvella - Mora i metod indukcii dlya polucheniya obschego resheniya.
Ferma, progib, formula Maksvella- Mora, Maple
Расчет перемещений узлов фермы, необходимый для оценки ее деформативности, обычно выполняют численно в одном из стандартных пакетов. С увеличением числа стержней в ферме увеличивается и размер матрицы уравнений равновесия узлов. Начиная с некоторого значения, любой численный метод начинает давать погрешности, недопустимые, если речь идет о таких ответственных расчетах, как расчеты мостов, покрытий промышленных сооружений, концертных залов, стадионов. Именно в таких сооружениях как правило применяются фермы с большим числом панелей. В работах [1-3] показано, что для многих статически определимых стержневых регулярных (с периодической решеткой) ферм возможно получить формульное решение, свободное от упомянутого "проклятия размерности". Аналитические решения для пространственных [4-10] и плоских ферм [11-19] получены с использованием системы компьютерной математики Maple и метода индукции. В настоящей работе на основе программы [20] для нахождения усилий в стержнях статически определимых фермах и упомянутого метода индукции выводятся формулы для прогиба центрального узла плоской фермы (рис. 1). Ферма с n панелями (считаются по нижнему поясу) содержит m=4n+18 стержней и 2n+9 сочленяющих узлов. Ферма статически определима, однако из трех уравнений равновесия конструкции в целом (как это обычно делается в начале расчета) найти пять реакций не удается. Это связано с тем, что ферма без опор не является жестким телом и имеет две степени свободы. Отсюда неизбежно применения полного расчета фермы вырезанием всех узлов и составление общей системы равновесия.
1. Рассмотрим решение задачи о действии сосредоточенной силы. В программу [20] вводятся координаты узлов, порядок соединения стержней и узлов. Результатом расчетов являются аналитические выражения для усилий. Смещение вычисляется по формуле Максвелла – Мора
где — усилия в стержнях фермы от действия единичной нагрузки P,
— длины стержней, EF — жесткость стержней (принята одинаковой для всех стержней). Принимается четное число панелей n=2k. Суммирование ведется по всем стержням, кроме опорных. В процессе счета было замечено, что при k=2,5,8... определитель системы уравнений равновесия обращается в ноль. Для того, чтобы исключить эти значения из метода индукции для параметра k выбирается закон изменения
Рис.1. Ферма при значениях
Получено следующее выражение для прогиба
(1)
где 
. Методом индукции найдены коэффициенты
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 14 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a и c соответственно:
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют члены последовательностей:
Рис.2. График зависимости прогиба фермы от числа панелей, L=100м
Одновременно с выводом формулы для прогиба можно получить и формулы для расчета реакции опоры стержней. Горизонтальная компонента реакции неподвижной опоры: . Вертикальные реакции подвижных опор:
2. Рассчитаем в (1) коэффициенты от распределенной нагрузки ( рис.3).
Рис.3. Ферма с распределенной нагрузкой
Методом индукции получено
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 18 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a и c соответственно:
7, 207, 399, 1871, 2811, 7683, 10315, 21771, 27423, 49703, 60087, 98487, 115699, 176571, 203091, 293843, 332535, 461631
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют члены последовательностей:
.
1. Hutchinson R. G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids - the hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2005. 85, No. 9, Pp. 607-617.
2. Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. No. 4. Pp. 756-782.
3. Zok F. W., Latture R. M., Begley M. R. Periodic truss structures // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016. vol. 96. Pp. 184-203. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2016.07.007
4. Kirsanov M. N. Stress State and Deformation of a Rectangular Spatial Rod Cover // Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. 2016. Vol. 31. No. 3. Pp. 71-79.
5. Kirsanov M. N. Analysis of the buckling of spatial truss with cross lattice // Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 4. Pp. 52 - 58. DOI:https://doi.org/10.5862/MCE.64.5
6. Kirsanov M.N. Analiticheskoe issledovanie zhestkosti prostranstvennoy staticheski opredelimoy fermy // Vestnik MGSU. 2017. T. 12. Vyp. 2 (101). S. 165-171.
7. Kirsanov M.N., Andreevskaya T.M. Analiz vliyaniya uprugih deformaciy machty na pozicionirovanie antennogo i radiolokacionnogo oborudovaniya // Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal. 2013. №5(40). S. 52-58.
8. Kirsanov M.N. Izgib, kruchenie i asimptoticheskiy analiz prostranstvennoy sterzhnevoy konsoli // Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal. 2014. № 5 (49). S. 37-43.
9. Kirsanov M.N. Raschet prostranstvennoy sterzhnevoy sistemy, dopuskayuschey mgnovennuyu izmenyaemost' // Stroitel'naya mehanika i raschet sooruzheniy. 2012. № 3. S. 48-51.
10. Voropai R. A., Kirsanov M.N. On the deformation of spatial cantilever trusses under the action of lateral loads // Science Almanac. 2016. No. 9-2(23). S.17-20. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2016.09.02.017
11. Domanov E. V. Analiticheskaya zavisimost' progiba prostranstvennoy konsoli treugol'nogo profilya ot chisla paneley//Nauchnyy al'manah. 2016. №6-2 (19). S. 214-217. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2016.06.02.214
12. Ershov L.A Formuly dlya rascheta deformaciy piramidal'nogo kupola // Nauchnyy al'manah. 2016. № 11-2(25). S. 315-318. DOI:https://doi.org/10.17117/na.2016.11.02.315
13. Tinkov D. V., Safonov A. A. Design Optimization of Truss Bridge Structures of Composite Materials // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2017. Vol. 46, No. 1, Pp. 46-52. DOI:https://doi.org/10.3103/S1052618817010149
14. Astahov S.V. Vyvod formuly dlya progiba vneshne staticheski neopredelimoy ploskoy fermy pod deystviem nagruzki v seredine proleta// Stroitel'stvo i arhitektura. 2017. T. 5. № 2. S. 50-54.
15. Kirsanov M.N., Suvorov A.P. Issledovanie deformaciy ploskoy vneshne staticheski neopredelimoy fermy // Vestnik MGSU. 2017. T. 12. Vyp. 8 (107). S. 869-875. DOI:https://doi.org/10.22227/1997-0935.2017.8.869-875
16. Kirsanov M.N. Analiz progiba arochnoy fermy // Stroitel'naya mehanika inzhenernyh konstrukciy i sooruzheniy. 2017. - № 5. - S. 50-55
17. Kirsanov M. N. Analiz usiliy i deformaciy v korabel'nom shpangoute modeliruemogo fermoy // Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova. - 2017. - T. 9. - № 3. - S. 560-569. DOI:https://doi.org/10.21821/2309-5180-2017-9-3-560-569
18. Kirsanov M.N., Zaborskaya N.V. Deformations of the periodic truss with diagonal lattice // Magazine of Civil Engineering. 2017. No. 3. Pp. 61-67. doi:https://doi.org/10.18720/MCE.71.7.).
19. Belyankin N.A., Boyko A. Y. Analysis of the deflection of the flat statically determinate girder // Sciense Almanac. 2017. N 2-3(28). S. 246-249. https://elibrary.ru/download/elibrary_28913792_32626016.pdf
20. Kirsanov M.N. Maple i Maplet. Resheniya zadach mehaniki. SPb.: Izd-vo Lan', 2012. 512 s.
