Волгоград, Волгоградская область, Россия
Вологодская область, Россия
Вологодская область, Россия
ББК 308 Монтаж, эксплуатация, ремонт машин и промышленного оборудования
Приведено выражение для осадки в однородном и изотропном грунтовом массиве при перемещении участка границы, линия прогиба которого является полиномом второго порядка. В формулу осадки входит величина бокового давления, что позволяет ее использовать для различных типов грунтов. Приведены картины изолиний осадки для глинистых и песчаных грунтов. Частными случаями полученной формулы являются формулы осадки для случаев равномерного и линейного перемещения участков границы грунтового массива. При вертикальном перемещении участка границы полуплоскости с увеличением глубины значение осадки стремится к величине, согласованной с законом нелинейного перемещения; при горизонтальном перемещении осадка затухает.
вертикальное и горизонтальное перемещение, осадка, коэффициент бокового давления грунта, изотропная упругая полуплоскость, грунт
Все возводимые сооружения претерпевают различные вертикальные и горизонтальные перемещения, учет которых необходим при расчете оснований сооружений.
Известно, что при проектировании фундаментных частей сооружений или грунтовых сооружений в качестве одного из основных принимается условие, чтобы все виды перемещений не превышали значений предельных, устанавливаемых проектом значений. Поэтому расчет оснований сооружений по второй группе предельных состояний, т.е. по деформациям, является одной из важнейших задач механики грунтов.
Экспериментально установлено [1], что деформации грунтов под фундаментами развиваются, в основном, в верхней части основания, поэтому исследование напряженно-деформированного состояния оснований сооружений можно проводить, применяя расчетные модели, основанные на решениях теории упругости [2-6]. Среди таких моделей наиболее широкое распространение получила модель линейно-деформируемой среды, в рамках которой анализ напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов можно проводить методами линейной теории упругости [7-12].
Безусловно, определение вертикальных перемещений, т.е. осадок, является одной из наиболее распространенных задач механики грунтов, однако в некоторых случаях возникает необходимость вычисления горизонтальных перемещений, например, при расчете оснований фундаментов распорных сооружений (арки, фермы, фундаменты с наклонной подошвой и т.д.).
В статьях [12, 13] авторами данной работы было рассмотрено решение задачи о распределении напряжений в грунтовом массиве при равномерном вертикальном и, соответственно, горизонтальном перемещениях участка границы упругой полуплоскости. На основании полученного решения было выведена формула осадки при равномерном перемещении участка границы.
На практике наблюдаются и неравномерные, например, линейные перемещения, моделирующие крены сооружений. В работах [14,15] были рассмотрены задачи о напряженно-деформированном состоянии грунтового массива при линейном перемещении участка границы полуплоскости; получена формула осадки.
Однако возможен и другой вид неравномерного перемещения, не сводящегося к линейному закону. Он связан с перемещением, в результате которого возникают прогибы и выгибы сооружений. Аналогичный вид имеет форма мульды оседания земной поверхности под влиянием подземной выработки (рис.1). Предположим, что граничную линию перемещения такого типа в некоторых случаях можно аппроксимировать полиномом второго порядка.
Заметим, что во всех рассмотренных выше случаях известна форма перемещения участка границы полуплоскости. Это обстоятельство дает возможность применить для исследования напряженно-деформированного состояния грунтового массива один из наиболее эффективных методов решения задач плоской теории упругости – метод комплексных потенциалов. Разработанный Г.В. Колосовым [17] и существенно дополненный Н.И. Мусхелишвили [18], он нашел важные применения в механике деформируемого твердого тела и ее приложениях [19-25]. Этим методом был решен ряд актуальных задач геомеханики, связанных с исследованием напряженно-деформированного состояния горных и грунтовых массивов [26-28]; решения задач, изложенных авторами в цитированных выше статьях, также были получены методом комплексных потенциалов.
В статье [29] в рамках модели линейно-деформируемой среды была рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при перемещении участка границы полуплоскости, представляющем собой полином второй степени. При этом получение выражения для осадки, возникающей при вертикальном и горизонтальном перемещениях участка границы полуплоскости в цитированной работе не предполагалось. Эта задача является целью данной статьи.
где Ey (x,y) компонента вертикальной деформации, H (x,y) вертикальное перемещение в точке с координатами (x,y), а y, например, глубина сжимаемого слоя.
Следуя [28], приведем компоненты напряжения и деформации для закона нелинейного перемещения (1) при r = q = 0. Имеем
Заметим, что при неограниченном увеличении 
и 
значения горизонтального, вертикального и касательного напряжений стремятся к нулю.
Для определения компоненты вертикальной деформации воспользуемся известной формулой [18, с. 95],
Ниже приведены таблицы 1 и 2 значений осадки для глинистого и песчаного грунтов с коэффициентами Пуассона . При отрицательных значениях , ввиду четности функции , знак осадки сохраняется.
Нетрудно видеть, что
На рис.4-5 приведены изолинии осадки, построенные для глинистого и песчаного грунтов, на основании формул (14) и (15) при r =1, a = 10
В таблицах 3 и 4 приведены значения осадки для глинистого и песчаного грунтов при неотрицательных значениях . При отрицательных значениях , знак осадки ввиду нечетности функции по аргументу x меняется, на противоположный.
На рис.6-7 приведены изолинии осадки, построенные для тех же двух типов грунтов на основании формул (17) и (18) при q = 1, a = 10
В таблицах 5 и 6 приведены значения осадки для глинистого и песчаного грунтов при неотрицательных значениях x 
. При отрицательных значениях , знак осадки не меняется ввиду четности осадки (x,y) как функции аргумента.
В таблицах 7 и 8 приведены значения осадки для глинистого и песчаного грунтов при неотрицательных значениях 
. При отрицательных значениях , знак осадки, как и в предыдущих случаях, остается прежним ввиду четности функции осадки s (x,y) по аргументу.
Выводы
1. Получена формула осадки для участка границы полуплоскости, линия перемещения которого является полиномом второго порядка. Приведенное выражение для осадки является функцией коэффициента Пуассона (коэффициента бокового давления).
2. Частными случаями нелинейного перемещения являются равномерное и линейное перемещения участка границы полуплоскости.
3. Соотношение для вертикального перемещения является нечетной функцией ординаты, а соотношение для горизонтального перемещения является четной функцией ординаты.
4.При горизонтальном перемещении (сдвиге) заданного участка грунтового массива осадка затухает, при вертикальном перемещении (смещении) участка грунтового массива с ростом глубины значение осадки стремится к величине , выражающей закон нелинейного перемещения.
1. Далматов, Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты/ Б.И. Далматов. - Л.: Стройиздат. 1988. 415 с.
2. Цытович, Н.А. Механика грунтов/ Н.А. Цытович. - М.: Госстройиздат. 1963. 636 с.
3. Кушнер, С.Г. Расчет деформаций оснований зданий и сооружений./ С.Г.Кушнер. - Запорожье : ООО «ИПО Запорожье». 2008. 496 с.
4. Иванов, П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений / П.Л. Иванов. - М.: ВШ, 1985. 447 с.
5. Флорин, В.А. Основы механики грунтов / В.А. Флорин. - Т. I. Л.: Госстройиздат. 1959. 360 с.
6. Богомолов А. Н., Степанова Е. А., Богомолова О. А., Цветкова Е. В., Либурацков Е.М. Численный анализ оседания земной поверхности над горизонтальными выработками / А. Н. Богомолов, Е. А. Степанова, О. А. Богомолова, Е. В. Цветкова, Е. М. Либурацков // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2016. Вып. 45(64). С. 12-26.
7. Партон, В.З., Перлин, П.И. Методы математической теории упругости/ В.З. Партон, П.И. Перлин. - М. : Наука. 1981. 688 с.
8. Хан, Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения / Х.Хан. - М. : Мир. 1988. 344 с.
9. Murnaghan F.D. Finite deformation of elastic solid / F.D. Murnaghan. - New York : Wiley, 1951. P. 140.
10. Green, A. E., Zerna, W. Theoretical elasticity / A.E. Green, W. Zerna. - Oxford: Clareden Press, 1968. P. 457.
11. Poulos H.G., Davis E. H. Elastic solutions for soil and rock mechanics / H.G. Poulos, E. H. Davis. - New York : Wiley, 1974. P.411.
12. Богомолов, А.Н, Ушаков, А. Н. Задача о вычислении осадок ленточного фундамента/ А.Н. Богомолов, А.Н. Ушаков // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2011. № 6. С. 2 - 7.
13. Богомолов, А.Н., Ушаков А. Н., Богомолова, О.А. Напряженно - деформированное состояние полуплоскости при сдвиге участка ее границы /А.Н. Богомолов, А.Н.Ушаков, О.А. Богомолова // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2011. - Вып. 21(40). - С. 19 - 27.
14. Богомолов, А.Н., Богомолова, О.А., Ушаков А.Н. О напряженно - деформированном состоянии упругой полуплоскости при линейном сдвиге участка ее границы /А.Н. Богомолов, О.А. Богомолова, А.Н.Ушаков// Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2016. - Вып. 46(65). - С. 17 - 26.
15. Богомолов, А.Н. Ушаков, А.Н. Напряженно-деформированное состояние упругой полуплоскости при линейном смещении участка ее границы / А.Н. Богомолов, А.Н. Ушаков // Вестник МГСУ. 2017. Т.12. Вып.2(101). С. 184 - 192.
16. Петрухин, В.П., Исаев, О.Н., Шарафутдинов, Р.Ф. Определение зоны влияния строительства коммуникационных тоннелей/ В.П. Петрухин, О.Н. Исаев, Р.Ф. Шарафутдинов // Основания, фундаменты и механика грунтов, № 4, 2013. С. 24-27.
17. Колосов Г.В. Применение комплексных переменных диаграмм и теории функций комплексного переменного к теории упругости / Г.В. Колосов. - М. : ОНТИ, 1935. 224 с.
18. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М. :Наука. 1966. 708 с.
19. Stevenson A.C. Complex potential in two-dimensional elasticity / A.C. Stevenson // Proc. Roy. Soc. Ser.A. 1945. Vol.184, No.997. Pp. 129-179, 218-229.
20. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. - Киев : Наукова думка, 1968. 888 с.
21. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости /А. И. Каландия. - М. : Наука, 1973. 304 с.
22. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами / А.С. Космодамианский. - Киев : Вища школа, 1975. 228 с.
23. Lu Jian-ke Complex variable methods in plane elasticity / Jian-ke Lu. - World Scientific, 1995. P. 237.
24. Akinola A. On complex variable method in finite elasticity/ A. Akinola // Applied Math. 2009.No1.pp.1-16.Режим доступа:http//file.scirp.org/pdf/AM20090100001_10535691.pdf.
25. Chau K.T. Analytical Methods in Geomechanics / K.T. Chau. - CRC Press, 2012. 424 p.
26. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов / З.Г. Тер-Мартиросян. - М. : Изд-во АСВ, 2009. 551 с. (Библиотека научных разработок и проектов МГСУ)
27. Богомолов, А.Н., Ушаков, А.Н. Методы теории функций комплексного переменного в задачах геомеханики / А.Н. Богомолов, А.Н. Ушаков. - Волгоград: Перемена, 2014. 227 с.
28. Verruijt A. Stress due to gravity in a notched elastic half-plane/ A. Verruijt // Eng. Arch. 1969. Vol. 38, No 2. Pp. 107 - 118.
29. Богомолов, А.Н., Богомолова, О.А., Ушаков А.Н. О напряженно - деформированном состоянии упругой полуплоскости при нелинейном перемещении участка ее границы /А.Н. Богомолов, О.А. Богомолова, А.Н.Ушаков// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Строительство и архитектура. - 2017. - Т.8, № 2.- С. 75-86.
