Введение
Основные положения теории гидравлических сетей были заложены В.Я. Хасилевым и А.П. Меренковым в шестидесятые годы прошлого века. Их идеи развиваются в работах их соратников и учеников. Исторически для решения задачи распределения потоков в гидравлических сетях предпочтение отдавалось методу контурных расходов (МКР). Даже для полностью разомкнутых сетей контуры создавались искусственно. Бесспорным преимуществом МКР перед методом узловых давлений (МУД) является значительно меньшая размерность системы уравнений. В МКР размерность равна количеству главных контуров, в МУД – количеству узлов с неизвестными давлениями. Преимуществом МУД перед МКР является то, что метод позволяет моделировать работу гидравлической сети любой конфигурации (с контурами, без контуров, с любым количеством узлов с заданным давлением) без дополнительного искусственного зацикливания сети.
Переход на «умные» технологии требует моделирования работы гидравлических сетей в реальном времени. Это означает, что пользователь должен иметь возможность оперативно изменять режим эксплуатации сетью (открывать/закрывать запорные устройства, переключать насосы, подключать/отключать дополнительные источники и т.д.) и быстро получать результаты моделирования. Эти задачи равноценны по значимости. Первая задача – разработка интерфейса. Пользователь готов затратить много времени и сил на сбор и первичный ввод информации, но при этом корректировать данные оперативно. Вторая задача – собственно моделирование работы гидравлической сети. Основное требование - быстродействие для моделирования сетей реальных размеров. В статье рассматривается только вторая задача.
Methods
При известной топологии и параметрах гидравлической сети ее математическая модель строится на основании законов Кирхгофа:
где A – матрица инцидентности; В – матрица главных контуров; S – диагональная матрица сопротивлений связей; |X| - диагональная матрица расходов на участках; 
- вектор расходов в узлах; 
- вектор действующих напоров на участках; 
- вектор расходов на участках; 
- вектор разностей давлений на участках; 
- вектор давлений в узлах.
После упрощения системы уравнений (1-4) узловая система уравнений приобретает вид:
Итерационный процесс строится с использованием формулы:
матрица Максвелла, вычисленная при текущем векторе расходов 
- невязка в узле.
Метод узловых давлений – это метод Ньютона, который, как известно, имеет высокую скорость сходимости только в окрестности точки решения. Выбор начального приближения для итерационного процесса очень важен. Рекомендации по решению этой проблемы не существуют.
Для поиска начального приближения к решению системы уравнений (5-6) предлагается заменить зависимость (6) на линейную зависимость:
Тогда начальное приближение 
может быть найдено в результате решения системы линейных уравнений:
где 
матрица Максвелла, вычисленная при 
Таким образом, при вычислении начального приближения используется вся имеющаяся информация о топологии сети и текущих параметрах объектов. Не смотря на это, в некоторых случаях скорость сходимости не достаточно высока. Для обеспечения стабильной монотонной сходимости в формулу (7) вводят релаксационный множитель 
, значение которого вычисляют на каждом шаге итерации. Такой подход существенно увеличивает время, затрачиваемое на одну итерацию. В теоретически обосновывается, что для положительно определенного Якобиана, для обеспечения монотонной сходимости достаточно выбирать <1. Практический опыт автора позволил установить следующий ряд значений =0,5 для k < 6, = 0,6 для k < 8, = 0,7 для k < 10, =1 для 
. Данный подход обеспечивает сходимость процесса за максимум 15 итераций.
На каждом шаге итерации необходимо решать систему линейных уравнений или обращать матрицу (8). По своей структуре матрица Максвелла (8) совпадает с матрицей смежности, которая для графов, моделирующих гидравлические сети, является разреженной. Для уменьшения времени, затрачиваемого на одну итерацию, узлы графа переномеровываются в соответствии с алгоритмом, что позволяет привести матрицу к ленточной форме с минимальной шириной ленты. Следующий шаг в оптимизации времени расчета – использование метода Холецкого для решения систем линейных уравнений с положительно определенными ленточными матрицами.
Размерность решаемых задач стала такой большой, что предложенных способов оптимизации времени расчета уже не достаточно. В работах предлагаются разные способы уменьшения размерности решаемой задачи, одни из них не вносят дополнительной погрешности в результаты, другие способы вносят минимальную погрешность. В работах излагается идея упрощения задачи, но алгоритмы ее решения не приводятся.
При разработке алгоритмов важна организация данных. В описанных ниже алгоритмах информация о топологии сети хранится в двумерном массиве, каждая строка которого соответствует участку сети, а столбцы содержат номера узлов, инцидентных участку.
В процессе эксплуатации гидравлической сети происходит перекрытие задвижек. В результате чего, некоторые части сети могут оказаться отключенными от источника. Выявление подобных ситуаций необходимо делать автоматически.
Высокоуровневое описание алгоритма выявления множества узлов, связанных с источником, представлено ниже.
Connectivity_checkg – выделение узлов сети, связанных с источником (выявление связных компонент графа сети).
- Маркировать узел «Источник».
- Кол-во_маркированных_узлов = 1.
- Повторять пока Кол-во_маркированных_ узлов >0:
- Кол-во_маркированных_ узлов = 0
- Для каждого участка:
- Найти участок, у которого маркирован один из инцидентных ему узлов;
- Маркировать смежный узел;
- Кол-во_маркированных_ узлов увеличить на 1.
В дальнейшем в расчетах рассматриваются только узлы, связанные с источником.
На втором этапе происходит поиск и удаление из рассмотрения ненагруженных деревьев. Под ненагруженным деревом понимается граф, не имеющий циклов, для узлов которого вектор G=0. Высокоуровневое описание алгоритма представлено ниже.
Unloaded_trees - поиск ненагруженных деревьев.
search for unloaded trees
- Вычислить валентность всех узлов графа.
- Кол-во_маркированных_связей = 1.
- Повторять пока Кол-во_маркированных_связей >0:
- Кол-во_маркированных_ связей = 0
- Для каждого немаркированного участка:
- Если валентность одного из инцидентных связи узлов равна 1, он не имеет нагрузки и не является источником, то:
- валентность узлов, инцидентных связи, уменьшить на 1;
- связь маркировать;
- Кол-во_маркированных_связей увеличить 1.
Дальнейшее упрощение расчетной схемы происходит за счет вычленения и удаления нагруженных деревьев из графа сети. Процесс начинается с терминальных узлов. В результате определяются расходы на всех участках и нагрузка корневого узла, которая увеличивается на суммарную нагрузку всех узлов, вошедших в дерево (рисунок 1). Индексы всех узлов и связей, вошедших в нагруженные деревья, равны 1. После того, как найдено давление в корневом узле, находятся давления во всех узлах, принадлежащих дереву (модуль Unfurl). Высокоуровневое описание алгоритмов представлено ниже.
Рисунок 1 Последовательность эквивалентирования нагруженных деревьев гидравлической сети a) – исходное состояние сети; b) перенос нагрузки в узлы 3 и 4; отсекаемые узлы - 1 и 2; c) перенос нагрузки в узел 4; отсекаемый узел 3; d) перенос нагрузки в узел S; отсекаемый узел 4.
Furl – скручивание нагруженных деревьев.
- Вычислить валентность всех узлов графа.
- Кол-во_маркированных_связей = 1.
- Повторять пока Кол-во_маркированных_связей >0:
- Кол-во_маркированных_связей = 0
- Для каждой немаркированной связи j (i;k):
- Если валентность одного из инцидентных связи узлов равна 1, и он не является источником, то:
- Валентность обоих узлов уменьшить на 1;
- Связь маркировать;
- Присвоить индексу узла I значение 1;
- Кол-во_маркированных_связей увеличить на 1;
- Если отсекаемый узел – конец связи (k), то:
- присвоить значению расхода значение нагрузки отсекаемого узла
- увеличить значение нагрузки смежного узла на значение нагрузки отсекаемого узла
- Если отсекаемый узел – начало связи (i), то:
- присвоить значению расхода инверсное значение нагрузки отсекаемого узла
- уменьшить значение нагрузки смежного узла на значение нагрузки отсекаемого узла
Unfurl – раскручивание свернутых нагруженных деревьев.
Кол-во_маркированных_связей = 1.
- Повторять пока Кол-во_маркированных_связей >0:
- Кол-во_маркированных_связей = 0.
- Для каждой немаркированной связи j (i;k) , принадлежащей дереву:
- Если индекс одного из инцидентных связи узлов равен 1 и он не маркирован, то:
- Вычислить давление в смежном узле по формуле:
- Маркировать смежный узел;
- Присвоить значение 1 индексу связи;
- Связь маркировать;
- Кол-во_маркированных_связей увеличить на 1.
Эффективность применения модуля Furl зависит от типа сети и решаемой задачи. Например, наладочный расчет систем теплоснабжения производится при заданной тепловой нагрузке абонентов, которая пересчитывается в расчетные расходы теплоносителя. В этом случае большую часть сети, а в некоторых случаях и всю сеть, удается «свернуть».
Графы, моделирующие расчетные схемы гидравлических сетей, могут содержать большое количество последовательных и параллельных связей. Эквивалентирование таких связей позволяет существенно уменьшить размерность решаемой системы уравнений.
Последовательные ребра – ребра, инцидентные одному и тому же узлу, который не имеет нагрузки, степень которого равна 2. При замене двух последовательных связей одной (рисунок 2 a-b) на единицу уменьшается количество узлов и добавляется новая связь. Гидравлическое сопротивление новой связи равно сумме сопротивлений замененных связей.
Параллельными связями называются связи, у которых совпадают пары инцидентных им узлов. Порядок перечисления узлов в паре не имеет значения. При замене двух параллельных связей одной не меняется количество узлов и добавляется новая связь, гидравлическая проводимость которой равно сумме проводимостей замененных связей, соединяющая те же концевые узлы (рисунок 2 c-d).
Процесс упрощения схемы начинается с поиска и эквивалентирования последовательных связей, затем происходит поиск и эквивалентирование параллельных связей, затем снова поиск последовательных связей, затем параллельных и так до тех пор, пока не останется последовательных и параллельных связей. Связи, инцидентные узлам, моделирующим насосы или регуляторы не эквивалентируются.
Рисунок 2 Эквивалентирование связей сети. a-b) последовательное соединение; c-d) параллельное соединение; a, c ) - исходное состояние; b-d) результат эквивалентирования.
Обратный ход состоит в присвоении значений расходов дочерних связей значениям расходов родительских связей (последовательные связи) и в вычислении значений расходов родительских связей (параллельные связи). Высокоуровневое описание алгоритмов представлено ниже.
Equivalenting_forward
- Вычислить валентность всех узлов графа.
- Определить количество узлов без нагрузки, валентность которых равна 2 (number_serial).
- Определить количество параллельных связей (number_parallel).
- Количество связей new=nl
- Повторять пока есть последовательные и параллельные связи (number_serial+ number_parallel>0):
- Если есть последовательные связи (number_serial>0), то
- Для каждой немаркированного узла i, валентность которого равна 2, и у которого отсутствует нагрузка:
- Найти 2 немаркированные связи j1 (i; k1) и j2 (i; k2), инцидентные узлу i;
- Маркировать найденные связи j1 и j2;
- Маркировать узел i;
- Создать новую связь new=new+1 (k1;k2);
- Вычислить гидравлическое сопротивление связи new по формуле Snew =Sj1+Sj2;
- Вычислить гидравлическую проводимость связи new Rnew=Snew-2;
- Сохранить номер связи new как дочерний subsidiary affiliate child
для связей j1 и j2.
- Определить количество параллельных связей (number_parallel).
- Если есть параллельные связи (number_parallel>0), то
- Для каждой немаркированной связи j (i; k):
- Найти параллельную ей немаркированную связь j1 (i; k);
- Маркировать найденные связи j и j1;
- Создать новый участок new=new+1 (i; k);
- Вычислить гидравлическую проводимость связи new по формуле Rnew =Rj+Rj1;
- Вычислить гидравлическое сопротивление связи new по формуле Snew = Rnew-0.5;
- Сохранить отрицательный номер связи new как дочерний для связей j и j1.
- Определить количество узлов без нагрузки, валентность которых равна 2 (number_serial).
Equivalenting_back
- Для каждого маркированной связи j, включая новые, начиная с большего номера с шагом -1:
- Найти узлы (i;k), инцидентные связи j;
- Вычислить
; - Для каждой немаркированной связи j1, начиная с 1 до j:
- Найти узлы (i1;k1), инцидентные связи j1;
- Найти родительскую связь (по совпадению номера дочернего участка j1 c номером j);
- Если номер дочерней связи >0 (т.е. последовательное соединение), то вычислить расходы на родительских связях:
, и
.
- Если номер дочерней связи <0 (т.е. параллельное соединение), то
, и
.
- Вычислить
- Маркировать связь.
Выводы
- Анализ состояния гидравлических сетей требует проведения расчетов в реальном времени. Этот факт повышает требования к надежности и быстродействию вычислительных процессов.
- Эквивалентные преобразования сети позволяют существенно уменьшить размерность систем нелинейных уравнений, а в отдельных случаях ликвидировать итерационный процесс, заменив его на последовательные вычисления.
- Использование в методе узловых давлений нижнего релаксационного множителя обеспечивает быструю и монотонную сходимость итерационного процесса.
Приведение матрицы Максвелла к ленточной форме и оптимизация ширины позволяют сократить время проведения одной итерации.
