Введение
Древесина на протяжении многих веков является одним из основных конструкционных материалов в строительстве, что обусловлено ее высокими физико-механическими и техническими качествами. На современном этапе развития строительной отрасли в области проектирования и возведения зданий и сооружений с использованием конструкций из дерева имеет место значительный прогресс благодаря применению клееных деревянных конструкций [1-3].
Для совершенствования проектных решений и снижения материалоемкости строительства требуется разработка и развитие научно-обоснованных методов расчета и оптимизации строительных конструкций. Во многих конструкциях используются элементы с постоянной по длине геометрией поперечного сечения, однако из соображений уменьшения расхода материала в некоторых случаях целесообразно применять элементы переменной жесткости [4-6].
Постановка задачи о наивыгоднейшем очертании колонны принадлежит Ж.Л. Лагранжу. Подробный обзор аналитических решений задачи Лагранжа представлен в работах А.П. Сейраняна [7-8]. Особенностью аналитических решений задачи оптимизации сжатой колонны является наличие точек с нулевой площадью, где будут возникать бесконечные напряжения. Таким образом, для создания реальных конструкций эти решения неприменимы.
Решение с учетом ограничения на минимальную площадь поперечного сечения может быть выполнено с использованием численных методов. Численные решения задач оптимизации сжатых стержней приведены в работах [9-13]. В указанных публикациях найденная оптимальная форма стержня описывается нелинейной функцией, что затрудняет практическую реализацию таких решений, особенно в случае использования дерева в качестве конструкционного материала. Представляет интерес решение задач оптимизации стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения и определение области их эффективного использования.
Методы
Рассматривается упругая деревянная стойка прямоугольного поперечного сечения, ширина которой постоянна и равна b, а высота меняется от h0 до βh0 по линейному закону (рис. 1). Стойка сжимается силой F. В качестве варьируемых параметров примем высоту h0, отношение β, а также параметр α=b/h0. Стойка может иметь различные закрепления в плоскостях xz и xy, коэффициенты приведения длины в этих плоскостях равны μxz и μyz соответственно. Требуется найти такие значения параметров α и β, чтобы критическая сила достигла максимума при постоянной массе стержня.
Рис. 1. Расчетная схема
Объем стержня можно вычислить по формуле:
Выразим из (1) h0:
Для стержня постоянного сечения из упругого материала критическая сила определяется по известной формуле Эйлера:
В действующих нормах проектирования деревянных конструкций для стержней с линейно меняющейся высотой поперечного сечения переменная жесткость учитывается коэффицентом kжN, который зависит от способа закрепления и параметра β. Уточнение нормативных формул коэффициента kжN нами было выполнено ранее. Расчетные формулы для коэффициента kжN представлены в таблице 1.
Табл. 1. Расчетные формулы коэффициента kжN
| закрепление | μ | плоскость xz | плоскость xy |
| шарнир-шарнир | 1 | 0.5116β2+0,5004β-0,0103 | -0,1305β2+0,7193β+0,4079 |
| шарнир-защемление | 0,7 | 0,515β2+0,5054β-0,0157 | -0,1731β2+0,793β+0,3783 |
| защемление-защемление | 0,5 | 0,5158β2+0,5037β-0,0172 | -0,2186β2+0,8624β+0,3499 |
| защемление-свободный край | 2 | -0,1158β2+1,0848β+0,025 | -0,1236β2+0,5089β+0,612 |
Критическая сила при потере устойчивости в плоскости xz может быть вычислена как:
При потере устойчивости в плоскости xy формула критической силы принимает вид:
Целевую функцию представим в виде:
где 
Требуется найти такие α и β, чтобы целевая функция принимала максимальное значение.
Решение задачи нелинейной оптимизации выполнялось в среде MATLAB с использованием пакета Optimization Toolbox для всех возможных сочетаний μxy = [0,5; 0,7; 1; 2] и μxz = [0,5; 0,7; 1; 2]. В качестве оптимизационного метода использовался алгоритм последовательного квадратичного программирования (SQP) [14-16]. Для β принимался диапазон возможных значений от 0,1 до 1, а для α — от 0,1 до 10.
Результаты и обсуждение
Полученные в результате оптимальные значения параметров α и β сведены в табл. 2.
Табл. 2. Оптимальные значения параметров α и β при различных закреплениях в двух плоскостях
|
μxz μxy |
0,5
|
0,7
|
1
|
2
|
| 0,5 | α=0,9817 β=0,9593 |
α=0,7021 β=0,9593 |
α=0,4877 β=0,9479 |
α=0,2162 β=0,5036 |
| 0,7 | α=1,3957 β=0,9905 |
α=0,9924 β=0,9801 |
α=0,6865 β=0,961 |
α=0,2998 β=0,4911 |
| 1 | α=2 β=1 |
α=1,4309 β=0,9955 |
α=0,991 β=0,9784 |
α=0,4235 β=0,4742 |
| 2 | α=3,4156 β=0,7719 |
α=2,4346 β=0,7671 |
α=1,6883 β=0,7556 |
α=0,731 β=0,3765 |
В табл. 2 серым выделены варианты, для которых оптимальный параметр β оказался близок к 1. Для этих вариантов использование переменного сечения неэффективно. Вообще говоря, для указанных вариантов βопт = 1, а αопт = μxy/μxz (из условия равноустойчивости в двух плоскостях), в чем можно убедиться, если построить поверхности f(α,β). Одна из таких поверхностей, соответствующая μxz=1 и μxy=0,7, показана на рис. 2. Оптимальная точка, найденная при помощи MATLAB, отмечена красным маркером. Отклонение β от 1 связано с тем, что касательная в отмеченной точке и при β=1 практически горизонтальна.
Рис. 2. Поверхность f(α, β) при μxz = 1 и μxy = 0,7
Из таблицы 2 видно, что использование переменного сечения с линейным изменением высоты по длине эффективно, только когда хотя бы в одной из плоскостей стержень закреплен по схеме «защемление-свободный край». На рисунке 3 приведена одна из таких поверхностей f(α,β), соответствующая случаю μxz=2 и μxy=0,5. При любых μxz и μxy поверхности f(α,β) имеют гребень, соответствующий равноустойчивому состоянию, на котором и находится оптимальная точка.
Рис. 3. Поверхность f(α, β) при μxz=2 и μxy=0,5
Положение этого гребня можно найти, если приравнять (4) и (5). В результате получим формулу:
Подстановка (7) в (6) приведет к следующему выражению для целевой функции:
Продифференцируем (8) по β и приравняем к нулю:
После упрощений задача поиска оптимального β сводится к уравнению:
При использовании зависимостей, представленных в действующих нормах расчета деревянных конструкций, для некоторых вариантов закрепления решение уравнения (10) может быть получено аналитически. Так, при μxz=μxy=2:
После упрощений имеем квадратное уравнение, которое в диапазоне β∈[0;1] имеет корень β=0,3071. Данное решение несколько отличается от результата, представленного в табл. 2, что объясняется различием нормативных и полученных нами формул коэффициентов kжN. При поиске минимума функции (6) в MATLAB с использованием нормативных формул было получено значение β=0,3072. По сравнению со стержнем постоянного сечения для оптимального стержня критическая нагрузка оказалась выше на 22%. Отметим, что в задаче Лагранжа максимально возможный прирост критической нагрузки составляет 33% [17-20].
Выводы
Аналитически и численно решена задачи оптимизации стержня прямоугольного поперечного сечения, высота которого меняется по линейному закону при возможной потере устойчивости в двух плоскостях. Для различных вариантов закрепления найдены оптимальные значения безразмерных геометрических параметров, обеспечивающие максимум критической нагрузки.
Установлено, что применение стержней с линейно меняющейся высотой целесообразно только в случае, когда по крайней мере в одной плоскости стержень закреплен по схеме «защемление-свободный край».
При использовании стержней переменной жесткости c линейно меняющейся высотой сечения прирост критической нагрузки может составить 22% по сравнению со стержнями постоянной жесткости.
